Lineare Funktionen: Steigung, y-Achsenabschnitt und Geradengleichung verstehen

Lineare Funktionen sind der Einstieg in das große Thema Funktionen. Sie beschreiben Zusammenhänge, bei denen eine Größe gleichmäßig wächst oder fällt: Handykosten pro Minute, Wasserstand beim Befüllen, Taxipreise. Ihr Graph ist immer eine Gerade – und mit zwei Zahlen, m und b, ist alles über sie gesagt.

Die Funktionsgleichung f(x) = mx + b

m ist die Steigung: Um wie viel ändert sich der y-Wert, wenn x um 1 größer wird? b ist der y-Achsenabschnitt: Wo schneidet die Gerade die y-Achse? Bei f(x) = 2x + 1 steigt die Gerade pro Schritt nach rechts um 2 und schneidet die y-Achse bei 1.

Graph zeichnen ohne Wertetabelle

• Den Punkt (0 | b) auf der y-Achse markieren.
• Mit dem Steigungsdreieck weitergehen: 1 nach rechts, m nach oben (bei negativem m nach unten).
• Die Punkte mit dem Lineal verbinden.

Bei Brüchen als Steigung ist es einfacher: m = 2/3 bedeutet 3 nach rechts und 2 nach oben.

Die Steigung verstehen

Positive Steigung: Die Gerade steigt. Negative Steigung: Sie fällt. Steigung 0: Sie verläuft waagerecht. Je größer der Betrag von m, desto steiler die Gerade. Im Sachzusammenhang ist m eine Rate: Bei einem Handytarif mit 9 Cent pro Minute ist m = 0,09 (Euro pro Minute).

Steigung aus zwei Punkten berechnen

Sind zwei Punkte P(x₁ | y₁) und Q(x₂ | y₂) bekannt, gilt: m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Beispiel: P(1 | 3) und Q(4 | 9). m = (9 – 3) / (4 – 1) = 6 / 3 = 2.

Geradengleichung bestimmen

Mit der Steigung und einem Punkt findet man b durch Einsetzen: y = 2x + b, Punkt P(1 | 3) einsetzen: 3 = 2 · 1 + b, also b = 1. Die Gleichung lautet f(x) = 2x + 1. Probe mit Q: 2 · 4 + 1 = 9. Stimmt.

Nullstelle berechnen

Die Nullstelle ist der Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet – also f(x) = 0. Bei f(x) = 2x – 6: 2x – 6 = 0, x = 3. Im Sachzusammenhang kann die Nullstelle bedeuten, wann ein Tank leer ist oder ab wann ein Gewinn entsteht.

Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei Geraden schneiden sich, wo sie denselben y-Wert haben. Man setzt die Funktionsterme gleich. Tarif A: f(x) = 0,05x + 10, Tarif B: g(x) = 0,15x. Gleichsetzen: 0,05x + 10 = 0,15x, also 10 = 0,1x und x = 100. Ab 100 Minuten ist Tarif A günstiger.

Parallele und senkrechte Geraden

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Senkrechte Geraden haben Steigungen, deren Produkt –1 ergibt: Zu m = 2 gehört die senkrechte Steigung –1/2. Das wird in Klasse 9 und 10 und in der Oberstufe wieder wichtig.

Typische Fehler

• Beim Steigungsdreieck nach links statt nach rechts gehen.
• Bei der Steigungsformel die Reihenfolge der Punkte vertauschen – oben (y₂ – y₁), unten aber (x₁ – x₂).
• b mit der Nullstelle verwechseln.
• Achsen unterschiedlich skalieren, ohne es zu beachten.

Lineare Funktionen im Alltag

Viele Tarife, Gebühren und Kosten folgen dem Muster „Grundgebühr plus Preis pro Einheit“: Taxifahrten, Stromrechnungen, Mietwagen. Wer lineare Funktionen verstanden hat, kann solche Angebote vergleichen – eine Fähigkeit, die weit über die Schule hinaus nützlich ist.

Teste dich selbst

1. Steigung der Geraden durch (2 | 1) und (6 | 9)? – Lösung: m = 8/4 = 2.
2. Nullstelle von f(x) = 3x – 12? – Lösung: x = 4.
3. Gleichung der Geraden mit m = –1 durch (0 | 5)? – Lösung: f(x) = –x + 5.
4. Schnittpunkt von f(x) = 2x + 1 und g(x) = –x + 7? – Lösung: x = 2, also S(2 | 5).
5. Steigung einer Senkrechten zu m = 4? – Lösung: –1/4.

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