Satz des Pythagoras: Formel, Beweisidee und Anwendungen mit Beispielen

Der Satz des Pythagoras ist einer der bekanntesten Sätze der Mathematik. Er verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und erlaubt es, eine fehlende Seite zu berechnen. In Klasse 9 wird er eingeführt – und begleitet Schüler*innen danach in Geometrie, Trigonometrie, Vektorrechnung und Physik.

Die Aussage

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. Als Formel: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.

Katheten und Hypotenuse erkennen

Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel bilden, sind die Katheten. Achtung: Die Seiten heißen nicht immer a, b und c. Deshalb zuerst den rechten Winkel suchen und die Hypotenuse bestimmen – dann erst die Formel aufschreiben.

Die Hypotenuse berechnen

Beispiel: Die Katheten sind 6 cm und 8 cm lang. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also c = 10 cm.

Eine Kathete berechnen

Die Formel wird umgestellt: a² = c² – b². Beispiel: Hypotenuse 13 cm, eine Kathete 5 cm. a² = 169 – 25 = 144, a = 12 cm. Der häufigste Fehler: auch hier zu addieren statt zu subtrahieren.

Eine anschauliche Beweisidee

Ein großes Quadrat mit der Seitenlänge a + b wird auf zwei Arten zerlegt: einmal in vier rechtwinklige Dreiecke und ein schräg liegendes Quadrat c², einmal in dieselben vier Dreiecke und zwei Quadrate a² und b². Da das große Quadrat gleich bleibt, muss c² = a² + b² sein. Dieser Beweis durch Zerlegung ist einer von über hundert bekannten Beweisen.

Anwendungen im Alltag

• Leiter an der Wand: Eine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Höhe: √(25 – 2,25) = √22,75 ≈ 4,77 m.
• Bildschirmdiagonale: Ein Bildschirm ist 60 cm breit und 34 cm hoch. Diagonale: √(3600 + 1156) = √4756 ≈ 69 cm.
• Abkürzung: Diagonal über einen rechteckigen Platz von 40 m × 30 m spart man 70 – 50 = 20 m.

Die Umkehrung

Gilt für ein Dreieck a² + b² = c², dann ist es rechtwinklig. Damit lässt sich prüfen, ob ein Winkel wirklich 90° hat. Handwerker nutzen das mit der 3-4-5-Regel: Misst man 3 m und 4 m entlang zweier Wände und die Diagonale beträgt genau 5 m, ist die Ecke rechtwinklig.

Pythagoras im Raum

Auch im Quader hilft der Satz, etwa um die Raumdiagonale zu berechnen: Erst die Diagonale der Grundfläche, dann mit der Höhe die Raumdiagonale. Bei einem Quader mit 3, 4 und 12 cm: Grundflächendiagonale 5 cm, Raumdiagonale √(25 + 144) = 13 cm.

Typische Fehler

• Die Hypotenuse falsch identifiziert.
• Beim Berechnen einer Kathete addiert statt subtrahiert.
• Die Wurzel am Ende vergessen – c² = 100 ist nicht c = 100.
• Den Satz auf nicht rechtwinklige Dreiecke angewendet.

Skizze zuerst

Bei Sachaufgaben ist eine Skizze der wichtigste Schritt: Wo ist der rechte Winkel? Welche Seite ist gesucht? Erst wenn das klar ist, wird gerechnet. Wer so vorgeht, macht die meisten Fehler gar nicht erst.

Teste dich selbst

1. Katheten 9 cm und 12 cm – Hypotenuse? – Lösung: √225 = 15 cm.
2. Hypotenuse 25 cm, Kathete 7 cm – andere Kathete? – Lösung: √(625 – 49) = √576 = 24 cm.
3. Ist ein Dreieck mit 5, 12, 13 rechtwinklig? – Lösung: Ja, 25 + 144 = 169.
4. Diagonale eines Quadrats mit 10 cm Seitenlänge? – Lösung: √200 ≈ 14,14 cm.

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