Kurvendiskussion Schritt für Schritt: Nullstellen, Extrema, Wendepunkte

Die Kurvendiskussion ist ein Klassiker der Analysis und kommt in fast jeder Mathe-Abiturprüfung vor – als eigene Aufgabe oder als Teil einer Anwendungsaufgabe. Das Ziel: die wichtigsten Eigenschaften eines Funktionsgraphen rechnerisch bestimmen. Mit einem festen Ablauf wird aus der gefürchteten Aufgabe Routine.

Das Beispiel

Wir untersuchen f(x) = x³ – 3x. Die Ableitungen: f'(x) = 3x² – 3, f''(x) = 6x, f'''(x) = 6.

1. Definitionsbereich

Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert: D = ℝ.

2. Symmetrie

Enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, bei nur geraden Exponenten achsensymmetrisch zur y-Achse. Hier: x³ und x¹ – nur ungerade, also punktsymmetrisch. Formal: f(–x) = –x³ + 3x = –f(x).

3. Nullstellen

f(x) = 0: x³ – 3x = 0. Ausklammern: x(x² – 3) = 0. Also x = 0 oder x² = 3, d. h. x = √3 ≈ 1,73 oder x = –√3.

4. Extrempunkte

Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. 3x² – 3 = 0, also x = 1 oder x = –1.

Hinreichende Bedingung: f''(1) = 6 > 0 → Tiefpunkt. f''(–1) = –6 < 0 → Hochpunkt.

y-Werte: f(1) = –2, f(–1) = 2. Ergebnis: Tiefpunkt T(1 | –2), Hochpunkt H(–1 | 2).

5. Wendepunkte

Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. 6x = 0, also x = 0.

Hinreichende Bedingung: f'''(0) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt.

y-Wert: f(0) = 0. Wendepunkt W(0 | 0). Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente; ihre Steigung ist f'(0) = –3.

6. Verhalten im Unendlichen

Entscheidend ist der Term mit dem höchsten Exponenten: x³. Für x → +∞ geht f(x) → +∞, für x → –∞ geht f(x) → –∞.

7. Graph skizzieren

Mit Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten und dem Verhalten im Unendlichen lässt sich der Graph sicher skizzieren – eine gute Kontrolle, ob alle Ergebnisse zusammenpassen: Der Hochpunkt muss zwischen zwei Nullstellen liegen, der Wendepunkt zwischen den Extrempunkten.

Wenn die hinreichende Bedingung versagt

Ist f''(x₀) = 0, liefert das Kriterium keine Aussage. Dann hilft das Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f' an der Stelle x₀ das Vorzeichen von + nach –, liegt ein Hochpunkt vor, von – nach + ein Tiefpunkt, ohne Wechsel ein Sattelpunkt.

Kurvendiskussion im Sachzusammenhang

Im Abitur ist die Kurvendiskussion oft in eine Anwendung eingebettet: Der Hochpunkt ist die höchste Temperatur des Tages, der Wendepunkt der Zeitpunkt des stärksten Anstiegs, die Nullstelle der Moment, in dem ein Tank leer ist. Hier zählt neben der Rechnung die Deutung im Kontext – mit Einheit und Antwortsatz.

Checkliste gegen Punktverluste

• Notwendige und hinreichende Bedingung jeweils aufgeschrieben?
• y-Koordinaten berechnet?
• Art des Extrempunkts angegeben?
• Ergebnisse mit einer Skizze plausibilisiert?
• Bei Anwendungsaufgaben: Deutung im Sachzusammenhang?

Teste dich selbst

1. Symmetrie von f(x) = x⁴ – 2x²? – Lösung: achsensymmetrisch zur y-Achse (nur gerade Exponenten).
2. Nullstellen von f(x) = x² – 4x? – Lösung: x = 0 und x = 4.
3. Extrempunkt von f(x) = x² – 4x? – Lösung: f'(x) = 2x – 4 = 0, x = 2; f''(2) = 2 > 0: Tiefpunkt T(2 | –4).
4. Wendepunkt von f(x) = x³ – 6x²? – Lösung: f''(x) = 6x – 12 = 0, x = 2; f'''(2) = 6 ≠ 0: W(2 | –16).

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