Integralrechnung: Flächen berechnen – auch zwischen zwei Graphen

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung die zweite große Säule der Analysis. Im Abitur geht es vor allem um Flächenberechnungen – und um typische Fallen, die viele Punkte kosten. Wer das Vorgehen sicher beherrscht, kann hier verlässlich punkten.

Die Stammfunktion

Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung f ist: F'(x) = f(x). Die wichtigste Regel: Aus xⁿ wird xⁿ⁺¹ / (n + 1). Beispiel: Zu f(x) = 3x² ist F(x) = x³ eine Stammfunktion. Weitere wichtige Stammfunktionen: zu eˣ gehört eˣ, zu sin(x) gehört –cos(x), zu cos(x) gehört sin(x), zu 1/x gehört ln|x|.

Der Hauptsatz

Das bestimmte Integral von a bis b berechnet man mit einer Stammfunktion: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a). Beispiel: ∫₀² 3x² dx = [x³]₀² = 8 – 0 = 8.

Fläche unter dem Graphen

Liegt der Graph im gesamten Intervall oberhalb der x-Achse, entspricht das Integral direkt der Fläche. Beispiel: f(x) = –x² + 4 im Intervall [–2; 2]. Stammfunktion F(x) = –x³/3 + 4x. F(2) = –8/3 + 8 = 16/3, F(–2) = 8/3 – 8 = –16/3. Fläche: 16/3 – (–16/3) = 32/3 ≈ 10,67 Flächeneinheiten.

Die Falle: Flächen unterhalb der x-Achse

Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, ist das Integral negativ. Liegt er teils oberhalb, teils unterhalb, heben sich die Anteile beim Integrieren teilweise auf. Deshalb gilt: Zuerst die Nullstellen im Intervall bestimmen, dann abschnittsweise integrieren und die Beträge addieren.

Beispiel: f(x) = x³ – 3x im Intervall [0; 2]. Nullstelle bei √3. ∫₀^√3 f = –9/4 (Fläche 9/4). ∫_√3² f = 1/4. Gesamtfläche: 9/4 + 1/4 = 5/2. Das Integral über [0; 2] direkt ergäbe –2 – falsch als Fläche.

Fläche zwischen zwei Graphen

• Schnittstellen bestimmen: f(x) = g(x).
• Differenzfunktion bilden: d(x) = f(x) – g(x).
• Zwischen den Schnittstellen integrieren.
• Betrag nehmen (bzw. abschnittsweise, wenn es mehr als zwei Schnittstellen gibt).

Beispiel: f(x) = x² und g(x) = x. Schnittstellen: x² = x, also x = 0 und x = 1. d(x) = x – x² (hier liegt g oben). ∫₀¹ (x – x²) dx = [x²/2 – x³/3]₀¹ = 1/2 – 1/3 = 1/6.

Integrale im Sachzusammenhang

Integrale berechnen nicht nur Flächen, sondern Gesamtmengen aus Änderungsraten: Aus der Zuflussrate eines Wassertanks (Liter pro Minute) ergibt das Integral die zugeflossene Wassermenge. Aus einer Geschwindigkeit ergibt es den zurückgelegten Weg. Hier ist die Deutung mit Einheiten wichtig.

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert einer Funktion auf [a; b] ist m = 1/(b – a) · ∫ₐᵇ f(x) dx – zum Beispiel die durchschnittliche Temperatur eines Tages. Eine beliebte Abituraufgabe.

Typische Fehler

• Nullstellen im Intervall nicht berücksichtigt.
• Vorzeichenfehler beim Einsetzen der unteren Grenze.
• Bei der Differenzfunktion die Klammer vergessen.
• Keine Einheit bei Anwendungsaufgaben.

Teste dich selbst

1. Stammfunktion von f(x) = 4x³? – Lösung: F(x) = x⁴.
2. ∫₀³ 2x dx = ? – Lösung: [x²]₀³ = 9.
3. Fläche zwischen f(x) = x² und der x-Achse auf [0; 3]? – Lösung: [x³/3]₀³ = 9.
4. Fläche zwischen f(x) = 4 und g(x) = x² auf [–2; 2]? – Lösung: ∫(4 – x²) dx = [4x – x³/3] = 32/3.

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