Ein Kapital wächst mit Zinsen, Bakterien vermehren sich, ein Medikament wird im Körper abgebaut: Viele Vorgänge folgen demselben Muster – dem exponentiellen Wachstum. Es ist eines der wichtigsten Themen der Klasse 10 und bereitet auf die Exponential- und Logarithmusfunktionen der Oberstufe vor.
Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu: 100, 110, 120, 130 (immer +10). Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert: 100, 110, 121, 133,1 (immer · 1,1). Am Anfang sind die Unterschiede klein, aber mit der Zeit wächst exponentielles Wachstum immer schneller davon.
Exponentielles Wachstum wird beschrieben durch f(t) = a · bᵗ. Dabei ist a der Anfangswert, b der Wachstumsfaktor und t die Zeit (z. B. in Jahren). Bei b > 1 liegt Wachstum vor, bei 0 < b < 1 Abnahme (Zerfall).
Wächst eine Größe um p % pro Zeiteinheit, ist der Wachstumsfaktor b = 1 + p/100. Bei 3 % Wachstum: b = 1,03. Nimmt eine Größe um p % ab: b = 1 – p/100. Bei 20 % Abnahme: b = 0,8. Dieser Schritt ist der Schlüssel zu fast allen Aufgaben.
Ein Kapital von 2.000 € wird mit 3 % pro Jahr verzinst, die Zinsen werden mitverzinst. Nach 8 Jahren: K = 2.000 · 1,03⁸ ≈ 2.533,54 €. Zum Vergleich: Ohne Zinseszins (einfache Zinsen) wären es 2.000 + 8 · 60 = 2.480 €. Der Unterschied von gut 50 € ist der Zinseszinseffekt – über längere Zeiträume wird er enorm.
Ein Auto verliert pro Jahr 15 % an Wert und kostet neu 30.000 €. Nach 4 Jahren: 30.000 · 0,85⁴ ≈ 15.660 €. Auch Medikamentenabbau und radioaktiver Zerfall folgen diesem Muster.
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, nach der sich eine Größe verdoppelt hat. Bei 7 % Wachstum pro Jahr sind das etwa 10 Jahre, denn 1,07¹⁰ ≈ 1,97. Eine Faustregel ist die „72er-Regel“: Verdopplungszeit ≈ 72 / Prozentsatz. Bei 3 % also etwa 24 Jahre. Entsprechend ist die Halbwertszeit die Zeit, nach der sich eine Größe halbiert hat.
Aus zwei aufeinanderfolgenden Werten berechnet man den Faktor als Quotienten: Von 250 auf 275 ergibt b = 275 / 250 = 1,1, also 10 % Wachstum. Sind die Quotienten in einer Tabelle konstant, liegt exponentielles Wachstum vor. Sind dagegen die Differenzen konstant, ist es lineares Wachstum.
Wann hat sich ein Kapital bei 3 % verdoppelt? Gesucht ist t mit 1,03ᵗ = 2. Hier hilft der Logarithmus: t = log(2) / log(1,03) ≈ 23,4 Jahre. Ohne Logarithmus kann man systematisch probieren – die Tabellenfunktion des Taschenrechners hilft dabei.
Der Graph einer Exponentialfunktion mit b > 1 steigt immer steiler an und schneidet die y-Achse beim Anfangswert a. Bei Abnahme nähert er sich der x-Achse, ohne sie je zu berühren. Diese Eigenschaften helfen beim Zuordnen von Graphen und Gleichungen.
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