Dreisatz einfach erklärt: proportional und antiproportional mit Beispielen

Drei Brötchen kosten 1,20 €. Wie viel kosten sieben? Solche Fragen begegnen uns im Alltag ständig – und der Dreisatz löst sie zuverlässig. Er wird in Klasse 6 oder 7 eingeführt und bleibt bis zum Abitur ein treuer Begleiter, etwa bei Prozenten, Zinsen oder physikalischen Umrechnungen.

Die Idee: Über die Eins

Der Dreisatz heißt so, weil er aus drei Sätzen (Schritten) besteht: Vom Bekannten auf die Einheit schließen, dann von der Einheit auf das Gesuchte. Man rechnet also immer „über die Eins“.

Proportionaler Dreisatz

Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr, desto mehr – und zwar im gleichen Verhältnis. Doppelte Menge, doppelter Preis. Beispiel: 3 Brötchen kosten 1,20 €. Wie viel kosten 7 Brötchen?

• Satz 1 (gegeben): 3 Brötchen → 1,20 €
• Satz 2 (auf eins): 1 Brötchen → 1,20 € : 3 = 0,40 €
• Satz 3 (auf gesucht): 7 Brötchen → 0,40 € · 7 = 2,80 €

Antiproportionaler Dreisatz

Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr, desto weniger. Doppelt so viele Arbeiter brauchen halb so lange. Beispiel: 4 Maler brauchen 6 Tage für ein Haus. Wie lange brauchen 3 Maler?

• Satz 1: 4 Maler → 6 Tage
• Satz 2: 1 Maler → 6 · 4 = 24 Tage (einer allein braucht viermal so lange)
• Satz 3: 3 Maler → 24 : 3 = 8 Tage

Der Unterschied: Beim proportionalen Dreisatz wird im zweiten Schritt dividiert und im dritten multipliziert, beim antiproportionalen umgekehrt.

Proportional oder antiproportional?

Die wichtigste Frage vor dem Rechnen. Hilfreich ist ein Gedankentest: Was passiert, wenn ich die eine Größe verdopple? Verdoppelt sich die andere, ist die Zuordnung proportional. Halbiert sie sich, antiproportional. Manche Zuordnungen sind weder noch – etwa Alter und Körpergröße. Dann funktioniert der Dreisatz nicht.

Die Tabelle als Hilfe

Viele Schulen schreiben den Dreisatz als Tabelle mit zwei Spalten und Pfeilen an der Seite, die zeigen, womit multipliziert oder dividiert wird. Wichtig: Was in der einen Spalte passiert, muss in der anderen auch passieren (proportional) oder umgekehrt (antiproportional).

Wenn die Eins nicht passt

Manchmal ergibt „auf eins“ krumme Zahlen. Dann kann man auf einen anderen gemeinsamen Wert rechnen. 6 Hefte kosten 4,50 €, gesucht sind 10 Hefte. Statt auf 1 Heft (0,75 €) kann man auf 2 Hefte (1,50 €) rechnen und dann mal 5 nehmen: 7,50 €. Beide Wege führen zum Ziel.

Dreisatz im Alltag und in anderen Fächern

• Kochen: Ein Rezept für 4 Personen auf 6 Personen umrechnen.
• Reisen: Benzinverbrauch für eine längere Strecke berechnen.
• Chemie: Stoffmengen und Massen umrechnen.
• Prozentrechnung: 100 % entsprechen 80 €, wie viel sind 15 %?

Typische Fehler

• Antiproportionale Zuordnung wie proportionale rechnen: 3 Maler brauchen dann 4,5 statt 8 Tage.
• Einheiten vergessen oder vermischen (Minuten und Stunden).
• Rundung zu früh: Zwischenergebnisse möglichst genau lassen.

Plausibilitätscheck

Nach jeder Dreisatzaufgabe lohnt sich die Frage: Ergibt das Ergebnis Sinn? Wenn weniger Maler schneller fertig werden, stimmt etwas nicht. Dieser kurze Check deckt die meisten Fehler auf.

Teste dich selbst

1. 5 kg Äpfel kosten 12,50 €. Was kosten 3 kg? – Lösung: 2,50 € pro kg, also 7,50 €.
2. 6 Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Wie lange brauchen 4 Pumpen? – Lösung: 48 Pumpenstunden, also 12 Stunden.
3. Ein Auto verbraucht 7 l auf 100 km. Wie viel auf 350 km? – Lösung: 24,5 l.
4. Proportional oder antiproportional: Anzahl Gäste und Portionen pro Person bei gleich großem Kuchen? – Lösung: antiproportional.

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